Abstand von Punkt zu Ebene berechnen

Berechnen Sie den kürzesten Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene mit der Hesseschen Normalform oder dem Lotfußpunktverfahren.

Eingabe der Werte

Punkt P:

P( | | )

Ebenenform:

Ebene E: Ax + By + Cz + D = 0

x + y + z + = 0

Aufpunkt A:

A( | | )

Richtungsvektor u:

u( | | )

Richtungsvektor v:

v( | | )

Ergebnis

Geben Sie die Werte ein und klicken Sie auf „Abstand berechnen“.

Formeln zur Abstandsberechnung

Hessesche Normalform

d(P,E) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

wobei P(x₀|y₀|z₀) der gegebene Punkt und E: Ax + By + Cz + D = 0 die Ebene ist.

Abstandsformel mit Normalenvektor

d(P,E) = |(P⃗ – A⃗) · n⃗| / |n⃗|

wobei P⃗ der Ortsvektor des Punktes, A⃗ der Aufpunkt der Ebene und n⃗ der Normalenvektor der Ebene ist.

Berechnungsverfahren

Verfahren mit Hessescher Normalform

Schritt 1: Normalenvektor bestimmen

Bei Koordinatenform: n⃗ = (A, B, C)

Bei Parameterform: n⃗ = u⃗ × v⃗ (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren)

Schritt 2: Hessesche Normalform aufstellen

Ebenengleichung durch |n⃗| dividieren: (Ax + By + Cz + D) / √(A² + B² + C²) = 0

Schritt 3: Punkt einsetzen

Koordinaten des Punktes P in die Hessesche Normalform einsetzen

Schritt 4: Betrag berechnen

Der Abstand ist der Betrag des Ergebnisses aus Schritt 3

Lotfußpunktverfahren

Schritt 1: Lotgerade aufstellen

Gerade g: X⃗ = P⃗ + t · n⃗

Stützvektor: Punkt P, Richtungsvektor: Normalenvektor n⃗ der Ebene

Schritt 2: Schnittpunkt berechnen

Lotgerade in Ebenengleichung einsetzen und Parameter t bestimmen

Schritt 3: Lotfußpunkt ermitteln

Parameter t in Lotgerade einsetzen → Lotfußpunkt F

Schritt 4: Abstand berechnen

Abstand = |PF⃗| = √[(Fx-Px)² + (Fy-Py)² + (Fz-Pz)²]

Beispielrechnung

Gegeben:

Punkt P(2|1|3) und Ebene E: 2x + y – 2z + 6 = 0

Lösung:

Schritt 1: Normalenvektor n⃗ = (2, 1, -2)

Schritt 2: |n⃗| = √(2² + 1² + (-2)²) = √9 = 3

Schritt 3: Hessesche Normalform: (2x + y – 2z + 6)/3 = 0

Schritt 4: Punkt einsetzen: (2·2 + 1·1 – 2·3 + 6)/3 = (4 + 1 – 6 + 6)/3 = 5/3

Ergebnis: d(P,E) = |5/3| = 5/3 ≈ 1,67 Längeneinheiten

Wichtige Eigenschaften

Kürzester Abstand

Der berechnete Abstand ist immer der kürzeste Abstand zwischen Punkt und Ebene. Er entspricht der Länge des Lotes vom Punkt zur Ebene.

Orientierter Abstand

Ohne Betragsstriche erhält man einen orientierten Abstand, dessen Vorzeichen angibt, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt.

Punkt in der Ebene

Liegt der Punkt in der Ebene, so ist der Abstand gleich null.

Parallelität

Der Abstand zwischen parallelen Ebenen entspricht dem Abstand eines beliebigen Punktes der einen Ebene zur anderen Ebene.