Satz des Pythagoras Rechner

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Kathete b: –

Hypotenuse c: –

Flächeninhalt: –

Umfang: –

Winkel α: –

Winkel β: –

Dreieck-Visualisierung

Formeln des Satz des Pythagoras

a² + b² = c²

Die Summe der Quadrate der Katheten entspricht dem Quadrat der Hypotenuse

Hypotenuse berechnen:
c = √(a² + b²)

Kathete a berechnen:
a = √(c² – b²)

Kathete b berechnen:
b = √(c² – a²)

Flächeninhalt:
A = (a × b) ÷ 2

Umfang:
U = a + b + c

Winkel berechnen:
α = arcsin(a/c)
β = arcsin(b/c)

Was ist der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalsten Sätze der Geometrie und beschreibt den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.

Katheten: Die beiden Seiten, die den rechten Winkel (90°) einschließen, werden als Katheten bezeichnet. Sie sind die kürzeren Seiten des Dreiecks.

Hypotenuse: Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.

Der Satz gilt ausschließlich für rechtwinklige Dreiecke, also Dreiecke mit einem 90°-Winkel. Pythagoras von Samos (ca. 570-510 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker und Philosoph, nach dem dieser Satz benannt wurde, obwohl er bereits vor seiner Zeit bekannt war.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Hypotenuse berechnen

Gegeben: Kathete a = 3 cm, Kathete b = 4 cm

Gesucht: Hypotenuse c

c² = a² + b² c² = 3² + 4² c² = 9 + 16 c² = 25 c = √25 = 5 cm

Beispiel 2: Kathete berechnen

Gegeben: Kathete a = 5 cm, Hypotenuse c = 13 cm

Gesucht: Kathete b

b² = c² – a² b² = 13² – 5² b² = 169 – 25 b² = 144 b = √144 = 12 cm

Beispiel 3: Praktische Anwendung – Leiter

Eine 5 m lange Leiter lehnt an einer 4 m hohen Wand. Wie weit steht der Fuß der Leiter von der Wand entfernt?

Gegeben: c = 5 m, a = 4 m Gesucht: b b² = c² – a² b² = 5² – 4² b² = 25 – 16 b² = 9 b = √9 = 3 m

Praktische Anwendungen

Bauwesen und Architektur

Überprüfung rechter Winkel bei Fundamenten, Berechnung von Dachneigungen, Konstruktion von Treppen und Bestimmung von Diagonalen in rechteckigen Strukturen.

Navigation und Vermessung

Entfernungsberechnung in der Kartographie, GPS-Navigation, Landvermessung und Bestimmung von Luftlinien-Entfernungen.

Technik und Ingenieurwesen

Konstruktion von Maschinen, Berechnung von Kräften in Fachwerken, Elektronik (Impedanzberechnung) und Mechanik.

Alltägliche Situationen

Aufstellen von Leitern, Berechnung von TV-Bildschirmdiagonalen, Gartenbau (rechtwinklige Beete) und Möbelaufbau.

Sport und Freizeit

Fußballfeld-Vermessung, Golfplatz-Entfernungen, Segelnavigation und Kletterrouten-Planung.

Wissenschaft und Forschung

Physikalische Berechnungen, Astronomie (Entfernungsbestimmung), Computergrafik und 3D-Modellierung.