Gram-Schmidt-Orthogonalisierung
Der Gram-Schmidt-Prozess ist ein fundamentales Verfahren in der linearen Algebra, das eine Menge von Vektoren in eine orthogonale oder orthonormale Basis umwandelt. Dieser mathematische Prozess ist besonders wichtig für:
- Die Erzeugung orthogonaler Basen im Vektorraum
- QR-Zerlegung von Matrizen
- Lösung von linearen Gleichungssystemen
- Anwendungen in der Quantenmechanik
Die mathematische Grundlage basiert auf der Projektion von Vektoren. Für einen Vektor \(\vec{v}\) und einen Einheitsvektor \(\vec{u}\) ist die Projektion gegeben durch:
Der Prozess erzeugt aus einer Menge von linear unabhängigen Vektoren \(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, …, \vec{v}_n\}\) eine orthogonale Basis \(\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, …, \vec{u}_n\}\).
Schritt 1
Geben Sie die Dimension des Vektorraums ein. Wählen Sie zwischen 2D, 3D oder höheren Dimensionen.
Schritt 2
Tragen Sie die Komponenten Ihrer Eingabevektoren in die entsprechenden Felder ein. Verwenden Sie Kommas zur Trennung der Komponenten.
Schritt 3
Wählen Sie die gewünschte Ausgabeform: orthogonal oder orthonormal.
Schritt 4
Klicken Sie auf „Berechnen“, um die Ergebnisse zu erhalten. Der Rechner zeigt Ihnen:
- Die orthogonale/orthonormale Basis
- Detaillierte Zwischenschritte der Berechnung
- Überprüfung der Orthogonalität durch Skalarprodukte
Schritt 5
Analysieren Sie die Ergebnisse anhand der bereitgestellten Erklärungen und mathematischen Schritte.